Question

（2012•普陀區(qū)一模）已知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且滿足an+1=pan+2n(n∈N*)
（1）求常數(shù)p的值和數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若抽去數(shù)列中的第一項(xiàng)、第四項(xiàng)、第七項(xiàng)、…第3n-2項(xiàng)，…，余下的項(xiàng)按原來(lái)的順序組成一個(gè)新的數(shù)列{b_n}，試寫(xiě)出數(shù)列
{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，是否存在正整數(shù)n，使得

Tn+1

Tn

=

11

3

？若存在，試求所有滿足條件的正整數(shù)n的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由a1=2，an-1=pan+2n，求得a2=2p+2，a3=2p2+2p+4，由存在常數(shù)p，使得數(shù)列a_n為等比數(shù)列，求出（2p+2）²=2（2p²+2p=4），由此能求出常數(shù)p的值和數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)得：（i）當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，bn=a3k=23k；（ii）當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，b_n=a_3k-1=2^3k-1，由此能求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）由{b_2n-1}是首項(xiàng)為b₁=4，公式q=8的等比數(shù)列，知{b_2n}是首項(xiàng)b₂=8，公比q=8的等比數(shù)列，由此能求出Tn=

5•8 n+1 2 -12 7 ，n=2k-1 12•8 n 2 -12 7 ，n=2k

．假設(shè)存在正整數(shù)n滿足條件，則

Tn+1

Tn

=

Tn+bn+1

Tn

=1+

bn+1

Tn

=

11

3

，即

bn+1

Tn

=

8

3

．由此能夠推導(dǎo)出當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)，

Tn+1

Tn

=

11

3

．

解答：解：（1）由a1=2，an-1=pan+2n，
得a2=2p+2，a3=2p2+2p+4，
∵存在常數(shù)p，使得數(shù)列a_n為等比數(shù)列，
∴a 22=a₁a₃，即（2p+2）²=2（2p²+2p=4），
∴p=1．
故數(shù)列{a_n}為首項(xiàng)是非，公比為2的等比數(shù)列，即an=2n，
此時(shí)，an+1=2n+2n=2n+1也滿足，
則所求常數(shù)p的值為1，且an=2n（n∈N^*）．
（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)得：
（i）當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，bn=a3k=23k；
（ii）當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，b_n=a_3k-1=2^3k-1，
∴bn=

2 3n+1 2 ，n=2k-1 2 3n 2 ，n=2k

，(k∈N*)．
（3）∵{b_2n-1}是首項(xiàng)為b₁=4，公式q=8的等比數(shù)列，
{b_2n}是首項(xiàng)b₂=8，公比q=8的等比數(shù)列，則
（i）當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，
T_n=T_2k=（b₁+b₃+…+b_2k-1）+（b₂+b₄+…+b_2k）
=

4(8k-1)

8-1

+

8(8k-1)

8-1

=

12•8k-12

7

=

12•8 n 2 -12

7

．
（ii）當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，
T_n=T_2k-1=T_2k-b_2k=

12•8k-12

7

-8k
=

5•8k-12

7

=

5•8 n+1 2 -12

7

．
即Tn=

5•8 n+1 2 -12 7 ，n=2k-1 12•8 n 2 -12 7 ，n=2k

．
假設(shè)存在正整數(shù)n滿足條件，則

Tn+1

Tn

=

Tn+bn+1

Tn

=1+

bn+1

Tn

=

11

3

，
∴

bn+1

Tn

=

8

3

．
則（i）當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，

bn+1

Tn

=

b2k+1

T2k

=

23k+2

12•8k-12 7

=

8

3

，
解得8^k=8，k=1．
即當(dāng)n=2時(shí)，滿足條件．
（ii）當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，

bn+1

Tn

=

b2k

Tn

=

8k

5•8k-12 7

=

7•8k

5•8k-12

=

8

3

，
解得8^k=

96

19

，
∵k∈N^*，∴此時(shí)無(wú)滿足條件的正整數(shù)n．
綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)，

Tn+1

Tn

=

11

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，考查正整數(shù)是否存在的探究．考查數(shù)列、不等式知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)．