Question

【題目】已知函數f（x）滿足f（﹣x）=f（x），f（x+8）=f（x），且當x∈（0，4]時f（x）= ，關于x的不等式f2（x）+af（x）＞0在[﹣2016，2016]上有且只有2016個整數解，則實數a的取值范圍是（ ）
A.（﹣ ln6，ln2]
B.（﹣ln2，﹣ ln6）
C.（﹣ln2，﹣ ln6]
D.（﹣ ln6，ln2）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵函數f（x）滿足f（﹣x）=f（x），f（x+8）=f（x），
∴函數f（x）是偶函數，且周期是8，則在[﹣2016，2016]上共有504個周期，
∵不等式在[﹣2016，2016]上有且只有2016個整數解，∴在一個周期上有且只有4個整數解，
由偶函數的性質可得，在（0，4]上有且只有2個整數解，
∵當x∈（0，4]時f（x）= ，∴則f′（x）= ，
當f′（x）＞0得1﹣ln（2x）＞0，即ln（2x）＜1，
即0＜2x＜e，即0＜x＜ ，
由f′（x）＜0得1﹣ln（2x）＜0，得ln（2x）＞1，
即2x＞e，即x＞ ，
即當x= 時，函數f（x）取得極大值，同時也是最大值
f（ ）= = ，
即當0＜x＜ 時，f（x）＜ 有一個整數解1，
當x＞ 時，0＜f（x）＜ 有無數個整數解，
①若a=0，則f2（x）+af（x）＞0得f2（x）＞0，此時有無數個整數解，不滿足條件．
②若a＞0，
則由f2（x）+af（x）＞0得f（x）＞0或f（x）＜﹣a，
當f（x）＞0時，不等式由無數個整數解，不滿足條件．
③當a＜0時，由f2（x）+af（x）＞0得f（x）＞﹣a或f（x）＜0，
當f（x）＜0時，沒有整數解，
則要使當f（x）＞﹣a有兩個整數解，
∵f（1）=ln2，f（2）= =ln2，f（3）= ，
∴當f（x）≥ln2時，函數有兩個整數點1，2，當f（x）≥ 時，函數有3個整數點1，2，3
∴要使f（x）＞﹣a有兩個整數解，
則 ≤﹣a＜ln2，即﹣ln2＜a≤﹣ ln6，
故選：C．