Question

已知函數f(x)=

lnx+a

x

(a∈R)
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x-y-1=0平行，求a的值
（2）求y=f（x）的單調區間和極值
（3）當a=1，且x≥1時，證明：f（x）≤1．

Answer 1

分析：（1）欲求a的值，根據在點（1，f（1））處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數求出在x=1處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．再列出一個等式，最后解方程組即可得．
（2）先求出f（x）的導數，根據f′（x）＞0求得的區間是單調增區間，f′（x）＜0求得的區間是單調減區間，最后求出極值即可．
（3）由（2）知，當a=1時，函數f(x)=

lnx+1

x

在[1，+∞）上是單調減函數，且f(1)=

ln1+1

1

=1，從而證得結論．

解答：解：（1）函數f（x）的定義域為{x|x＞0}，
所以f′(x)=

1-lnx-a

x 2

．
又曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x-y-1=0平行，
所以f'（1）=1-a=1，即a=0．
（2）令f'（x）=0，得x=e^1-a．
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

由表可知：f（x）的單調遞增區間是（0，e^1-a），單調遞減區間是（e^1-a，+∞）．
所以f（x）在x=e^1-a處取得極大值，f（x）_極大值=f（e^1-a）=e^a-1．
（3）由（2）知，當a=1時，函數f(x)=

lnx+1

x

在[1，+∞）上是單調減函數，
且f(1)=

ln1+1

1

=1，
∴x≥1時，f（x）≤f（1）=1．

點評：本小題主要考查利用導數研究曲線上某點切線方程、利用導數研究函數的單調性、導數的應用等基礎知識，考查運算求解能力，考查歸與轉化思想．屬于基礎題．