Question

正四棱柱ABCD-ABC₁D₁（底面是正方形，側棱與底面垂直）底面邊長為1，高為2，M、N、P分別為線段AB、CD、C₁D₁的中點．
（1）求證：MC₁∥平面ANPA₁；
（2）求異面直線CD與MC₁所成角的大小的正切值．

Answer 1

分析：（1）連接PA，先證明四邊形AMC₁P是平行四邊形，由此能夠證明MC₁∥平面ANPA₁．
（2）由CD∥AB，知∠C₁MB或其補角為導面直線CD與MC₁所成的角．由此能求出異面直線CD與MC₁所成角的正切值．

解答：解：（1）連接PA，
∵正四棱柱ABCD-ABC₁D₁中，M、P分別為線段AB、C₁D₁的中點，
∴AM

∥

.

PC₁，
∴四邊形AMC₁P是平行四邊形，
∴MC₁∥AP，
∵AP?平面ANPA₁，MC₁?平面ANPA₁，
∴MC₁∥平面ANPA₁．
（2）∵CD∥AB，所以∠C₁MB或其補角為導面直線CD與MC₁所成的角．
連接BC₁，∵AB⊥平面BCC₁B，∴AB⊥BC₁，
在Rt△MBC₁中，BC1=

4+1

=

5

，MB=

1

2

，
∴tan∠C1MB=

5

1 2

=2

5

，
故異面直線CD與MC₁所成角的大小的正切值為2

5

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查異面直線所成角的正切值的求法，解決此類問題的關鍵是熟練掌握幾何體的結構特征與幾何體的線段長度關系，進而解決線面平行與垂直問題，異面直線所成角等問題．