Question

【題目】某項數學競賽考試共四道題，考察內容分別為代數、幾何、數論、組合，已知前兩題每題滿分40分，后兩題每題滿分60分，題目難度隨題號依次遞增，已知學生甲答題時，若該題會做則必得滿分，若該題不會做則不作答得0分，通過對學生甲以往測試情況的統計，得到他在同類模擬考試中各題的得分率，如表所示：

假設學生甲每次考試各題的得分相互獨立.

（1）若此項競賽考試四道題的順序依次為代數、幾何、數論、組合，試預測學生甲考試得160分的概率；

（2）學生甲研究該項競賽近五年的試題發現第1題都是代數題，于是他在賽前針對代數版塊進行了強化訓練，并取得了很大進步，現在，只要代數題是在試卷第1、2題的位置，他就一定能答對，若今年該項數學競賽考試四道題的順序依次為代數、數論、組合、幾何，試求學生甲此次考試得分X的分布列.

Answer 1

【答案】（1）0.046（2）詳見解析

【解析】

（1）學生甲得160分，即第1，2題做對一道，第3、4題都做對，由此能預測學生甲考試得160分的概率.

（2）由題知學生甲第1題必得40分，只需考慮另三道題的得分情況，從而X的所有可能取值為40，80，100，140，160，200，分別求出相應的概率，能求出X的分布列.

解：（1）學生甲得160分，即第1，2題做對一道，第3、4題都做對，

∴P＝（0.6×0.3+0.4×0.7）×0.5×0.2＝0.046.

（2）由題知學生甲第1題必得40分，只需考慮另三道題的得分情況，

故X的所有可能取值為40，80，100，140，160，200，

P（X＝40）＝0.3×0.7×0.7＝0.147，

P（X＝80）＝0.7×0.7×0.7＝0.343，

P（X＝100）＝0.3，

P（X＝140），

P（X＝160）＝0.3×0.3×0.3＝0.027，

P（X＝200）＝0.7×0.3×0.3＝0.063.

∴X的分布列為：