Question

【題目】如圖，三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，，，分別是棱的中點(diǎn).

（1）證明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：（1）由可得．又由題意得平面，故有，于是平面，根據(jù)面面垂直的判定可得結(jié)論成立．（2）由題意建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件求得平面的法向量，又平面的一個(gè)法向量為，然后根據(jù)及圖形可得所求余弦值．

詳解：(1)證明：因?yàn)?/span>，是棱的中點(diǎn)，

所以．

又三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且，

所以平面，

又平面，

則．

因?yàn)?/span>，

所以平面，

又平面，

所以平面平面.

（2）由于三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，故可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，

故，

設(shè)平面的法向量為，

則，即，

令，得，

由（1）知平面的一個(gè)法向量為，

所以.

由圖可知二面角為銳角，

所以二面角的余弦值為.