Question

【題目】如圖，三棱柱中，，平面.

（1）證明：；

（2）若，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；（2）余弦值為.

【解析】分析: (1)先證明平面,即證.(2)先證明,,再建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求二面角的余弦值.

詳解:（1）證明：∵平面，∴.

∵，

∴，∴平面，∴.

（2）解：∵平面，∴，

∴四邊形為菱形，∴.

又，∴與均為正三角形.

取的中點(diǎn)，連接，則.

由（1）知，則可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則，，，，.

∴，，.

設(shè)平面的法向量為，

則，

∴∴

取，則為平面的一個(gè)法向量.

又為平面的一個(gè)法向量，

∴.

又二面角的平面角為鈍角，所以其余弦值為.

點(diǎn)睛:本題主要考查空間位置關(guān)系的證明和二面角的平面角的計(jì)算,主要考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.屬于中檔題.