Question

【題目】已知函數為上的偶函數，為上的奇函數，且.

（1）求和的表達式；

（2）判斷并證明的單調性；

（3）若存在使得不等式成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）在上單調遞增，證明見解析；（3）.

【解析】

（1）根據函數的奇偶性列出兩個方程，解出即可；

（2）根據函數單調性的定義，取值、作差、變形、定號、下結論即可證出；

（3）先將不等式化為，再換元，

令，然后分參轉化為，最后求出的最大值，即得實數的取值范圍．

（1）因為①，將換為，代入上式得，

由于是偶函數，是奇函數，所以，，

即②，

由①②可解得，，．

（2）在上單調遞增．

證明如下：任取且，

，

因為當時，，所以，

所以在上單調遞增．

（3）由題意可得，

令，由可得，則，

即原命題等價于存在使得成立，

分離參變量得，只需即可.

又因為，所以，即，

所以，實數的取值范圍為．