Question

【題目】如圖所示，四面體中，是正三角形，是直角三角形，是的中點(diǎn)，且.

（1）求證：平面；

（2）過(guò)的平面交于點(diǎn)，若平面把四面體分成體積相等的兩部分，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)證明；（2）

【解析】

（1）首先利用三角形全等得到，推導(dǎo)出，利用勾股定理得到，由此能證明平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

（1）如圖所示，

因?yàn)?/span>為等邊三角形，所以，

由，得，所以，

即為等腰直角三角形，從而為直角，

又為底邊中點(diǎn)，所以.

令，則，易得，

所以，從而，

又為平面內(nèi)兩相交直線，

所以平面.

（2）由題意可知，即到平面的距離相等，

所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則，

易得.

設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則

，取；，取，

設(shè)二面角的大小為，易知為銳角，

則，

所以二面角的余弦值為.