Question

【題目】如圖，已知為拋物線上一點，斜率分別為，的直線PA，PB分別交拋物線于點A，B（不與點P重合）.

（1）證明：直線AB的斜率為定值；

（2）若△ABP的內切圓半徑為.

（i）求△ABP的周長（用k表示）；

（ii）求直線AB的方程.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）（i）；（ii）.

【解析】

（1）首先設直線PA的方程為，與拋物線聯(lián)立，求得點的坐標，將，求得點的坐標，再求直線的斜率；

（2）（ⅰ）利用弦長公式，分別求三角形的三邊長，

（ⅱ）首先求點到直線的距離，再利用等面積公式轉化方程求，最后求直線的方程.

（1）設直線PA的方程為，與拋物線聯(lián)立，

得，

易知，，

所以直線AB的斜率（定值）.

（2）由（1）得直線AB的方程為，

所以點P到直線AB的距離.

，，.

（ⅰ）求的周長；

（ⅱ）設的內切圓半徑為r，則，

，

即，解得.

所以直線AB的方程為.