Question

15、若數列{a_n}滿足：對任意的n∈N^﹡，只有有限個正整數m使得a_m＜n成立，記這樣的m的個數為（a_n）⁺，則得到一個新數列{（a_n）⁺}．例如，若數列{a_n}是1，2，3…，n，…，則數列{（a_n）⁺}是0，1，2，…，n-1…已知對任意的n∈N⁺，a_n=n²，則（a₅）⁺=

2

，（（a_n）⁺）⁺=

n²

．

Answer 1

分析：根據題意，若a_m＜5，而a_n=n²，知m=1，2，∴（a₅）⁺=2，由題設條件可知（（a₁）⁺）⁺=1，（（a₂）⁺）⁺=4，（（a₃）⁺）⁺=9，（（a₄）⁺）⁺=16，于是猜想：（（a_n）⁺）⁺=n²．

解答：解：∵a_m＜5，而a_n=n²，∴m=1，2，∴（a₅）⁺=2．
∵（a₁）⁺=0，（a₂）⁺=1，（a₃）⁺=1，（a₄）⁺=1，
（a₅）⁺=2，（a₆）⁺=2，（a₇）⁺=2，（a₈）⁺=2，（a₉）⁺=2，
（a₁₀）⁺=3，（a₁₁）⁺=3，（a₁₂）⁺=3，（a₁₃）⁺=3，（a₁₄）⁺=3，（a₁₅）⁺=3，（a₁₆）⁺=3，
∴（（a₁）⁺）⁺=1，（（a₂）⁺）⁺=4，（（a₃）⁺）⁺=9，（（a₄）⁺）⁺=16，
猜想：（（a_n）⁺）⁺=n²．
答案：2，n²．

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題．仔細解答．