Question

已知函數f（x）=

x

x+1

，若數列{a_n}滿足：a_n＞0，a₁=1，a_n+1=[f（

an

）]²，
（I）求數列{a_n}的通項公式數列a_n；
（II）若數列{a_n}的前n項和為S_n，證明：S_n＜2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意有an+1=(

an

an +1

)2，

an+1

=

an

an +1

，故

1

an+1

-

1

an

=1．所以

1

an

=1+(n-1)=n，由此能求出an=

1

n2

．
（Ⅱ）當k≥2（k=2，3，4，…，n）時，ak=

1

k2

＜

1

k(k-1)

=

1

k-1

-

1

k

，由此利用裂項求和法能夠證明S_n＜2．

解答：（Ⅰ）解：由題意有an+1=(

an

an +1

)2，
∴

an+1

=

an

an +1

，（2分）
∴

1

an+1

=

1

an

+1，
∴

1

an+1

-

1

an

=1．（4分）
所以數列{

1

an

}是以1為首項，1為公差的等差數列．（5分）

1

an

=1+(n-1)=n，
即

an

=

1

n

．
所以an=

1

n2

．（7分）
（Ⅱ）證明：當k≥2（k=2，3，4，…，n）時，
ak=

1

k2

＜

1

k(k-1)

=

1

k-1

-

1

k

，（10分）Sn=a1+a2+…+an=1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)=2-

1

n

＜2，（13分）
故 S_n＜2．（14分）

點評：本題考查數列與函數的綜合運用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．