Question

（2009•濰坊二模）已知函數f（x）=ax-

ln(1+x)

1+x

在x=0處取得極值．
（I）求實數a的值，并判斷，f（x）在[0，+∞）上的單調性；
（Ⅱ）若數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n），求證：0＜a_n+1＜a_n≤l；
（Ⅲ）在（II）的條件．下，記s_n=

a1

1+a1

+

a1．a2

(1+a1)(1+a2)

+…+

a1．a2…an

(1+a1)(1+a2)…(1+an)

，求證：s_n＜1．

Answer 1

分析：（I）通過極值的性質，求實數a．然后利用導數判斷函數的單調性．
（Ⅱ）利用數學歸納法證明不等式．
（Ⅲ）利用（II）的結論去證明．

解答：解：（I）函數的導數為f′(x)=a-

1-ln?(1+x)

(1+x)2

，因為函數在x=0處取得極值，所以f'（0）=0，解得a=1．
即f′(x)=1-

1-ln?(1+x)

(1+x)2

=

(1+x)2-1+ln?(1+x)

(1+x)2

=

x2+x+ln?(1+x)

(1+x)2

．
因為x≥0，所以ln（1+x）≥0，x²+x≥0，所以此時f'（x）≥0，即函數在[0，+∞）上單調遞增．
（Ⅱ）  由（I）知f(x)=x-

ln?(1+x)

1+x

，所以an+1=f(an)=an-

ln?(1+an)

1+an

，下面用數學歸納法證明a_n＞0．
①當n=1時，a_n=1＞0，成立．
②假設當n=k，（n∈N•）時a_k＞0．因為函數f（x）在[0，+∞）上單調遞增，所以f（a_k）＞f（0）=0，所以a_n+1=f（a_n）＞0成立．
綜上a_n＞0．又a_n-a_n+1=

ln?(1+an)

an

，因為a_n＞0，所以an-an+1=

ln?(1+an)

1+an

＞0，即a_n＞a_n+1．
而a₁=1，所以0＜a_n+1＜a_n≤l成立．
所以由①②可知0＜a_n+1＜a_n≤l成立．
（Ⅲ）由（II）知，0＜a_n+1＜a_n≤l，所以

1

an

＜

1

an+1

，1+

1

an

＜1+

1

an+1

，即

1+an

an

＜

1+an+1

an+1

，所以

an

1+an

＞

an+1

1+an+1

＞0．
所以

a1?a2???an

(1+a1)(1+a2)???(1+an)

=

a1

1+a1

?

a2

1+a2

???

an

1+an

＜

a1

1+a1

?

a1

1+a1

???

a1

1+a1

=(

a1

1+a1

)n．
所以s_n=

a1

1+a1

+

a1．a2

(1+a1)(1+a2)

+…+

a1．a2…an

(1+a1)(1+a2)…(1+an)

＜(

a1

1+a1

)+(

a1

1+a1

)2+…+(

a1

1+a1

)n=

a1 1+a1 [1-( a1 1+a1 )n]

1- a1 1+a1

＜

a1 1+a1

1- a1 1+a1

=a1=1
所以s_n＜1．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性問題以及利用數學歸納法證明不等式，綜合性較強，難度非常大，在運算過中要細心．