Question

煙囪向其周圍地區散落煙塵而造成環境污染．已知A、B兩座煙囪相距3km，其中A煙囪噴出的煙塵量是B煙囪的8倍，經環境檢測表明：落在地面某處的煙塵濃度與該處到煙囪距離的平方成反比，而與煙囪噴出的煙塵量成正比．（比例系數為k）．若C是連接兩煙囪的線段AB上的點（不包括端點），設AC=xkm，C點的煙塵濃度記為y．
（Ⅰ）寫出y關于x的函數表達式；
（Ⅱ）是否存在這樣的點C，使該點的煙塵濃度最低？若存在，求出AC的距離；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設B處煙塵量為1，則A處煙塵量為8，根據煙塵濃度與到煙囪距離的關系可求得A、B在C處的煙塵濃度，然后兩者相加可得y關于x的函數．
（2）對（1）中函數進行求導，然后令導函數等于0求x的值，然后判斷原函數的單調性進而可求得最小值．
解答：解：（1）設B處煙塵量為1，則A處煙塵量為8，
∴A在C處的煙塵濃度為
B在C處的煙塵濃度為．其中0＜x＜3．
從而處總的煙塵濃度為．（0＜x＜3）；
（2）由=，
解得x=2．
故當0＜x＜2時，y′＜0，原函數單調遞減．當2＜x＜3時y′＞0，原函數單調遞增．
∴x=2時，y取得極小值，且是最小值．
答：在連接西煙囪的線段AB上，距煙囪A處2km處的煙塵濃度最低．
點評：本題主要考查根據導數求函數的最值的問題．屬基礎題．