Question

煙囪向其周圍地區(qū)散落煙塵而造成環(huán)境污染．已知A、B兩座煙囪相距3km，其中A煙囪噴出的煙塵量是B煙囪的8倍，經(jīng)環(huán)境檢測表明：落在地面某處的煙塵濃度與該處到煙囪距離的平方成反比，而與煙囪噴出的煙塵量成正比．（比例系數(shù)為k）．若C是連接兩煙囪的線段AB上的點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），設(shè)AC=xkm，C點(diǎn)的煙塵濃度記為y．
（Ⅰ）寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
（Ⅱ）是否存在這樣的點(diǎn)C，使該點(diǎn)的煙塵濃度最低？若存在，求出AC的距離；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)B處煙塵量為1，則A處煙塵量為8，根據(jù)煙塵濃度與到煙囪距離的關(guān)系可求得A、B在C處的煙塵濃度，然后兩者相加可得y關(guān)于x的函數(shù)．
（2）對（1）中函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后令導(dǎo)函數(shù)等于0求x的值，然后判斷原函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而可求得最小值．

解答：解：（1）設(shè)B處煙塵量為1，則A處煙塵量為8，
∴A在C處的煙塵濃度為

8k

x2

B在C處的煙塵濃度為

k

(3-x)2

．其中0＜x＜3．
從而處總的煙塵濃度為y=

8k

x2

+

k

(3-x)2

．（0＜x＜3）；
（2）由y′=-

16k

x3

+

2k

(3-x)3

=

18k(x-2)(x2-6x+12)

x3(3-x)3

=0，
解得x=2．
故當(dāng)0＜x＜2時，y′＜0，原函數(shù)單調(diào)遞減．當(dāng)2＜x＜3時y′＞0，原函數(shù)單調(diào)遞增．
∴x=2時，y取得極小值，且是最小值．
答：在連接西煙囪的線段AB上，距煙囪A處2km處的煙塵濃度最低．

點(diǎn)評：本題主要考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值的問題．屬基礎(chǔ)題．