Question

煙囪向其周圍地區散落煙塵而污染環境．已知落在地面某處的煙塵濃度與該處到煙囪的距離成反比，現有兩座煙囪相距10km，其中甲煙囪噴出的煙塵濃度是乙煙囪的2倍，在距甲煙囪1km處的煙塵濃度為2個單位/m³，現要在甲、乙兩煙囪之間建立一所學校，問學校建在何處，煙塵對學校的影響最小？

Answer 1

分析：學校建立在離甲煙囪xkm處時，該處甲煙囪的煙塵濃度為y甲=

2k

x

，乙為y乙=

k

10-x

，（其中0＜x＜10）；
在該處的煙塵濃度為f（x）=y_甲+y_乙，且由在距甲煙囪1km處的煙塵濃度為2個單位/m³得，

2k

1

=2從而得k值，求出函數f（x）在定義域內的最大值及此時的x的值．

解答：解：設學校建立在離甲煙囪xkm處，則該處甲、乙兩煙囪的煙塵濃度分別為：
y甲=

2k

x

，y乙=

k

10-x

，（0＜x＜10）；
在該處的煙塵濃度為：f(x)=y甲+y乙=

2k

x

+

k

10-x

，（0＜x＜10）；
由已知：2=

2k

1

，∴k=1，
所以f(x)=

2

x

+

1

10-x

=

20-x

10x-x2

=

20-x

-(20-x)2+30(20-x)-200

=

1

30-[(20-x)+ 200 20-x ]

≥

1

30-2 200

=

1

30-20 2

當且僅當20-x=

200

，即x=20-10

2

時取等號，
故學校應建立在離甲煙囪(20-10

2

)km處，煙塵對學校的影響最�。�

點評：本題考查了反比例函數模型及其應用，基本不等式a+b≥2

ab

（a＞0，b＞0）的應用；利用基本不等式解題時，要注意“=”成立的條件是什么．