Question

煙囪向其周圍地區散落煙塵造成環境污染．已知A、B兩座煙囪相距20km，其中B煙囪噴出的煙塵量是A煙囪的8倍，經環境檢測表明：落在地面某處的煙塵濃度與該處到煙囪距離的平方成反比，而與煙囪噴出的煙塵量成正比．（比例系數為k）．若C是AB連線上的點，設AC=x km，C點的煙塵濃度記為y．
（Ⅰ）寫出y關于x的函數表達式；
（Ⅱ）是否存在這樣的點C，使該點的煙塵濃度最低？若存在，求出AC的距離；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設A煙囪噴出的煙塵量為1，則B煙囪噴出的煙塵量為8，由AC=x，（0＜x＜20），可得BC=20-x；
依題意，點C處的煙塵濃度y的函數表達式為：，（0＜x＜20）
（Ⅱ）對（Ⅰ）中的函數表達式求導，利用單調性與導數的關系求最值即可．
解答：解：（Ⅰ）不妨設A煙囪噴出的煙塵量為1，則B煙囪噴出的煙塵量為8，由AC=x，（0＜x＜20），可得BC=20-x；…（3分）
依題意，點C處的煙塵濃度y的函數表達式為：，（0＜x＜20）…（6分）
（Ⅱ）對（Ⅰ）中的函數表達式求導得；…（9分）
令y'=0，得（3x-20）•（3x²+400）=0；
又0＜x＜20，∴．…（12分）
∵當時，y'＜0；當時，y'＞0，
∴當時，y取最小值．
故存在點C，當km時，該點的煙塵濃度最低．…（14分）
點評：本題以環保為素材，考查函數模型的構建，考查根據導數求函數的最值的問題．屬中檔題