Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，其左焦點F₁到點P（2，1）的距離為

10

．
（1）求橢圓的方程；
（2）過右焦點F₂的直線與橢圓交于不同的兩點M、N，則△F₁MN內切圓的圓面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由左焦點F₁到點P（2，1）的距離為

10

，求出c，根據離心率為

1

2

，求出a，由此可求橢圓方程；
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨y₁＞0，y₂＜0，設△F₁MN的內切圓的徑R，則△F₁MN的周長=4a=8，S△F1MN=

1

2

|MN|+|F₁M|+|F₁N|）R=4R，因此S_△F1MN最大，R就最大．設直線l的方程為x=my+1，與橢圓方程聯立，從而可表示△F₁MN的面積，利用換元法，借助于導數，即可求得結論．

解答： 解：（1）∵左焦點F₁到點P（2，1）的距離為

10

，
∴

(2+c)2+1

=

10

，
∴c=1，
∵離心率為

1

2

，
∴a=2，
∴b=

3

，
∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨y₁＞0，y₂＜0，設△F₁MN的內切圓的徑R，
則△F₁MN的周長=4a=8，S△F1MN=

1

2

（|MN|+|F₁M|+|F₁N|）R=4R
因此S△F1MN最大，R就最大，
由題知，直線l的斜率不為零，可設直線l的方程為x=my+1，
代入橢圓方程得（3m²+4）y²+6my-9=0，
由根與系數的關系得y1+y2=-

6m

3m2+4

，y1y2=-

9

3m2+4

，
則S△F1MN=

1

2

|F₁F₂||y₁-y₂|=

12 m2-1

3m2+4

，
令t=

m2+1

，則t≥1，
則S△F1MN=

12

3t+ 1 t

，
令f（t）=3t+，則f′（t）=3-

1

t2

，
當t≥1時，f′（t）≥0，f（t）在[1，+∞）上單調遞增，有f（t）≥f（1）=4，S_△F1MN≤3，
即當t=1，m=0時，S_△F1MN≤3，
S_△F1MN=4R，∴R_max=

3

4

，這時所求內切圓面積的最大值為

9

16

π．
故直線l：x=1，△F₁MN內切圓面積的最大值為

9

16

π．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，分析得出S△F1MN最大，R就最大是關鍵．