Question

【題目】過拋物線的焦點F任作兩條互相垂直的直線，，分別與拋物線E交于A，B兩點和C，D兩點，則的最小值為________．

Answer 1

【答案】9

【解析】

解法一：設出直線的方程，分別與拋物線方程聯立，求得、，由此求得的表達式，進而利用基本不等式，求得的最小值.

解法二：設直線AB的傾斜角為，結合拋物線的定義，利用表示出，然后利用基本不等式，求得的最小值.

解法一：由題意知，拋物線的焦點為．

由直線，與拋物線E分別交于兩點且，直線，的斜率均存在且不為0，

故可設直線的方程為，

則直線的方程，

聯立直線和拋物線E的方程，

得，

消去y得，

所以，

令代替此式中的，得，

因為，，

所以，

當且僅當時等號成立，

所以的最小值為9．

解法二 設直線AB的傾斜角為，點A在x軸上方，作垂直拋物線E的準線于，垂直x軸于，拋物線的準線交x軸于點G，

易知，

所以，

所以，

同理，

所以．

又DC與AB垂直，

所以直線DC的傾斜角為，

所以．

因為，

所以，

所以

，

當且僅當時等號成立，

所以的最小值為9．

故答案為：