Question

（2005•南匯區(qū)一模）某自來水廠的蓄水池存有400噸水，水廠每小時(shí)可向蓄水池中注水60噸，同時(shí)蓄水池又向居民小區(qū)不間斷供水，t小時(shí)內(nèi)供水總量為120

6t

噸，（0≤t≤24）
（1）從供水開始到第幾小時(shí)時(shí)，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少噸？
（2）若蓄水池中水量少于80噸時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象，請問：在一天的24小時(shí)內(nèi)，有幾小時(shí)出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意先設(shè)t小時(shí)后，蓄水池中的存水量為y噸．寫出蓄水池中的存水量的函數(shù)表達(dá)式，再利用換元法求此函數(shù)的最小值即得；
（2）先由題意得：y≤80時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)供水緊張．由此建立關(guān)于x的不等關(guān)系，最后解此不等式即得一天中會(huì)有多少小時(shí)出現(xiàn)這種供水緊張的現(xiàn)象．

解答：解：（1）設(shè)t小時(shí)后蓄水池中的水量為y噸，
則y=400+60t-120

6t

； （3分）
令

6t

=x；則x²=6t，即y=400+10x²-120x=10（x-6）²+40；（5分）
∴當(dāng)x=6，即t=6時(shí)，y_min=40，
即從供水開始到第6小時(shí)時(shí)，蓄水池水量最少，只有40噸．（8分）
（2）依題意400+10x²-120x＜80，得x²-12x+32＜0（11分）
解得，4＜x＜8，即4＜

6t

＜8，

8

3

＜t＜

32

3

；
即由

32

3

-

8

3

=8，所以每天約有8小時(shí)供水緊張．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，解決實(shí)際問題通常有四個(gè)步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．屬于基礎(chǔ)題．