Question

【題目】已知圓及直線：.

(1)證明：不論取什么實數，直線與圓C總相交；

(2)求直線被圓C截得的弦長的最小值及此時的直線方程.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) ，.

【解析】

（1）根據直線過的定點在圓內，得出直線與圓總相交．
（2）作圖分析出當直線與半徑CM垂直與點M時|AB|最短，利用勾股定理求出此時|AB|的長，再運用兩直線垂直時斜率相乘等于1，求出此時直線的方程．

解：(1)證明：直線的方程可化為，

由方程組，解得

所以直線過定點M(3，1)，

圓C化為標準方程為，所以圓心坐標為(1，2)，半徑為5，

因為定點M(3，1)到圓心(1，2)的距離為√，

所以定點M(3，1)在圓內，

故不論m取什么實數，過定點M(3，1)的直線與圓C總相交；

(2)設直線與圓交于A、B兩點，當直線與半徑CM垂直與點M時，直線被截得的弦長|AB|最短，

此時，

此時，所以直線AB的方程為，即.

故直線被圓C截得的弦長的最小值為，此時的直線的方程為.