Question

【題目】已知圓的方程為，點(diǎn)，點(diǎn)M為圓上的任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與線段相交于點(diǎn)N.

（1）求點(diǎn)N的軌跡C的方程.

（2）已知點(diǎn)，過點(diǎn)A且斜率為k的直線交軌跡C于兩點(diǎn)，以為鄰邊作平行四邊形，是否存在常數(shù)k，使得點(diǎn)B在軌跡C上，若存在，求k的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）由橢圓的定義，知點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，進(jìn)而求得N的軌跡方程；（2）設(shè)直線,與橢圓聯(lián)立，得韋達(dá)定理，以、為鄰邊作平行四邊形的頂點(diǎn)在橢圓上，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)化后B點(diǎn)在橢圓上，得k的方程求解即可

（1）

>

知點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，則a=,

∴

（2）設(shè)直線,與橢圓聯(lián)立

設(shè)，

消去，得

點(diǎn)

代入橢圓方程：

得

又滿足

存在常數(shù)，使得平行四邊形的頂點(diǎn)在橢圓上