Question

（2011•懷化一模）已知函數f（x）=sin（ωx-

π

3

）+

3

cos（ωx-

π

3

）（ω＞0），其圖象與x軸的一個交點到其鄰近一條對稱軸的距為

π

4

（1）求f（

π

12

）的值；
（2）將函數f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到時原來的4倍，縱坐標不變，得到y=g（x）的圖象，求[

π

6

，2π]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）圖象與x軸的一個交點到其鄰近一條對稱軸的距為

π

4

，推出函數的周期，利用函數的周期求出ω，化簡函數的表達式求出函數的解析式，然后求f（

π

12

）的值；
（2）將函數f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位，得到函數的解析式，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到時原來的4倍，縱坐標不變，得到y=g（x）的解析式，分析[

π

6

，2π]上，推出

1

2

x-

π

3

的范圍，然后求出函數的最大值和最小值．

解答：解：（1）由題意函數f（x）=sin（ωx-

π

3

）+

3

cos（ωx-

π

3

）（ω＞0），
其圖象與x軸的一個交點到其鄰近一條對稱軸的距為

π

4

；
所以

T

4

=

π

4

，可得T=π，∴ω=

2π

π

=2∴f（x）=sin（2x-

π

3

）+

3

cos（2x-

π

3

）=2sin2x   
所以f（

π

12

）=2sin

π

6

=1  
（2）將函數f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位后，得到y=2sin2（x-

π

6

）=2sin（2x-

π

3

）；
再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到時原來的4倍，得到y=2sin（2×

1

4

x-

π

3

）=2sin(

1

2

x-

π

3

)；
∴g（x）=2sin(

1

2

x-

π

3

)，
∵

π

6

≤x≤2π，∴

π

12

≤

1

2

x≤π
∴-

π

4

≤

1

2

x-

π

3

≤

2π

3

∴-

2

2

≤sin(

1

2

x-

π

3

)≤1
∴-

2

≤g(x)≤2
∴當x=

π

6

時，g（x）的最小值為：-

2

；當x=

5π

3

時g（x）的最大值為2．

點評：本題是中檔題，考查三角函數的解析式的求法，周期的應用，三角函數的最值的求法，函數的平移變換，考查計算能力．