Question

【題目】已知函數，

(1)當時，討論函數的單調性

(2)當時，，對任意，都有恒成立，求實數b的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)在單調遞增，在單調遞減；(2)

【解析】

（1）先求得定義域及函數的導函數,求得函數極值點.再由,可判斷導函數的符號,即可判斷函數的單調區間.

（2）將代入,再代入可得解析式.由不等式恒成立,分離參數后構造函數.求其導函數可得.再構造函數,求得.可判斷出有唯一的零點,即在處取得最小值.進而結合不等式即可求得b的取值范圍.

（1）定義域為

由題知

則,

令解得

當,,

當,﹔當,；

函數在單調遞增,在單調遞減

（2）將代入,再代入中可得

由恒成立可得恒成立,

即恒成立,

設,則,

,,

當時,,

在上單調遞增,且有,,

函數有唯一的零點,且 ,

當,,,單調遞減,

當,,,單調遞增,

是在定義域內的最小值

,

得,,（*）

令,,

方程（*）等價為,,單調遞增,

等價為,,

,,易知單調遞增,,

是的唯一零點,

,,

的最小值,

恒成立

的范圍是