Question

（本小題共12分）

在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，點(diǎn)A₁在底面ABC上的射影O恰是BC的中點(diǎn).
（1）求證：面A₁AO面BCC₁B₁;
（2）當(dāng)AA₁與底面成45°角時(shí)，求二面角A₁—AC—B的大小；
（3）若D為側(cè)棱AA₁上一點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，BD⊥A₁C₁.

Answer 1

arctan2,

證明：（1）連AO, ∵⊿ABC為正三角形, ∴AO⊥BC.

又∵A₁O⊥面ABC，∴A₁O⊥BC，∴BC⊥面A₁AO
∴面A₁AO⊥面BCC₁B₁         ………4分
（2）過(guò)O作OE⊥AC于E，連A₁E，
∵A₁O⊥面ABC，
∴，∴∠A₁EO即為所求的平面角.
∵正⊿ABC的邊長(zhǎng)為,∠A₁AO=45°,
∴ ．

∴二面角A₁—AC—B的大小為arctan2 ．             …………8分
（3）過(guò)D作DF//A₁O交AO于F，則DF⊥面ABC，
連BF，要使BD⊥A₁C₁，只要使BF⊥AC，
∵⊿ABC為正三角形,
∴只要F為△ABC的中心即可，
∴時(shí)，BD⊥A₁C₁．            …………12分