Question

如圖，平行六面體ABCD－A'B'C'D'中，AC＝2，BC＝AA'＝A'C＝2，∠ABC＝90°，點O是點A'在底面ABCD上的射影，且點O恰好落在AC上.

（1）求側棱AA'與底面ABCD所成角的大小；
（2）求側面A'ADD'底面ABCD所成二面角的正切值；
（3）求四棱錐C－A'ADD'的體積.

Answer 1

（1）45°（2）（3）

（I）連，則平面于                      ……1分（文1分）
∴就是側棱與底面所成的角                ……1分（文2分）

在中，

∴是等腰直角三角形                                                     
∴，即側棱與底面所成角為45°，
（II）在等腰中，，∴，且O為AC中點，
過O作于E，連。∵平面ABCD于O，
由三垂線定理，知，                                              
∴∠是側面與底面ABCD所成二面角的平面角。
∵∠ABC=，，∴底面ABCD是正方形。
∴。
在中，。
即所求二面角的正切值為。                                                    
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，。
∴。                                                  
∵，∴。
∵，∴平面，它們的交線是。
過O作，則。
。                                           
又∵的中點，∴點C到平面的距離。
∴。