Question

如圖所示，在Rt△ABC中，已知A（-2，0），直角頂點B（0，-2

2

），點C在x軸上．
（Ⅰ）求Rt△ABC外接圓的方程；
（Ⅱ）求過點（-4，0）且與Rt△ABC外接圓相切的直線的方程．

Answer 1

考點：圓的切線方程

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）設點C（a，0），由BA⊥BC，K_BA•K_BC=-1，求得a的值，可得所求的圓的圓心、半徑，可得要求圓的方程．
（Ⅱ）設要求直線的方程為y=k（x+4），根據圓心到直線的距離等于半徑，即d=

|5k|

k2+1

=3，求得k的值，可得要求的直線的方程．

解答： 解：（Ⅰ）設點C（a，0），由BA⊥BC，可得 K_BA•K_BC=

-2 2

2

•

2 2

a

=-1，∴a=4，
故所求的圓的圓心為AC的中點（1，0）、半徑為

1

2

AC=3，
故要求Rt△ABC外接圓的方程為（x-1）²+y²=9．
（Ⅱ）由題意可得，要求的直線的斜率一定存在，設要求直線的方程為y=k（x+4），
即 kx-y+4k=0，當直線和圓相切時，圓心到直線的距離等于半徑，
故有 d=

|5k|

k2+1

=3，求得k=±

3

4

，
故要求的直線的方程為 3x-4y+12=0，或 3x+4y+12=0．

點評：本題主要考查兩條直線垂直的性質，求圓的標準方程，用待定系數法求直線的方程，點到直線的距離公式的應用，屬于基礎題．