Question

如圖在單位圓中，已知α、β是坐標平面內(nèi)的任意兩個角，且0≤α-β≤π，
請寫出兩角差的余弦公式并加以證明．

Answer 1

考點：兩角和與差的余弦函數(shù)

專題：證明題

分析：設(shè)P₁（cosα，sinα），P₂（cosβ，sinβ），則

OP1

=（cosα，sinα），

OP2

=（cosβ，sinβ），利用向量的數(shù)量積的坐標運算及定義即可證得結(jié)論

解答： 解：兩角差的余弦公式為：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ  …（6分）
證明：設(shè)P₁（cosα，sinα），P₂（cosβ，sinβ），
則

OP1

=（cosα，sinα），

OP2

=（cosβ，sinβ），
因為

OP1

•

OP2

=cosαcosβ+sinαsinβ，
又因為

OP1

•

OP2

=|

OP1

|•|

OP2

|cos（α-β）=1×1cos（α-β）=cos（α-β）．
所以cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．…（14分）

點評：本題考查兩角和與差的余弦函數(shù)，考查向量的數(shù)量積的坐標運算及數(shù)量積的概念，屬于中檔題．