Question

【題目】已知一個口袋有m個白球，n個黑球（m，n∈N* ， n≥2），這些球除顏色外全部相同．現將口袋中的球隨機的逐個取出，并放入如圖所示的編號為1，2，3，…，m+n的抽屜內，其中第k次取出的球放入編號為k的抽屜（k=1，2，3，…，m+n）．

1

2

3

…

m+n

（Ⅰ）試求編號為2的抽屜內放的是黑球的概率p；
（Ⅱ）隨機變量x表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數，E（X）是X的數學期望，證明E（X）＜ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設事件Ai表示編號為i的抽屜里放的是黑球，
則p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2| ）P（ ）
=
= = ．
證明：（Ⅱ）∵X的所有可能取值為 ，…， ，
P（x= ）= ，k=n，n+1，n+2，…，n+m，
∴E（X）= （ ）=
= ＜ =
= （ ）
= = ，
∴E（X）＜ ．
【解析】（Ⅰ）設事件Ai表示編號為i的抽屜里放的是黑球，則p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2| ）P（ ），由此能求出編號為2的抽屜內放的是黑球的概率．
（Ⅱ）X的所有可能取值為 ，…， ，P（x= ）= ，k=n，n+1，n+2，…，n+m，從而E（X）= （ ）= ，由此能證明E（X）＜ ．