【題目】已知直線
過橢圓
的右焦點且與橢圓
交于
兩點， 
為
中點， 
的斜率為
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）設
是橢圓
的動弦，且其斜率為1，問橢圓
上是否存在定點
，使得直線
的斜率
滿足
？若存在，求出點
的坐標；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）
.（2）
或
滿足題意.
【解析】試題分析：（1）由已知得，橢圓
的半焦距
，
設
， 
， 
，由
在橢圓
上列出方程組，得到
，
進而求得
，再根據
，解得
的值，即可得到橢圓的方程；
（2）假設
上存在定點
滿足題意，設直線
方程為
，聯立方程組，得
， 
，由
，代入化簡得
，又由它與
無關，即可得橢圓
上存在點
或
滿足題意.
試題解析：
（1）由已知得，橢圓
的半焦距
，
設
， 
， 
，則
， 
，又由
在橢圓
上得
，兩式相減得
，所以
，
而
，所以
又
，所以
， 
，
所以橢圓
的方程為
.
（2）假設
上存在定點
滿足題意，并設直線
方程為
，
， 
，聯立
，消
得
，則
， 
，
由
，得
，將
， 
，代入并化簡得
，
將
， 
代入并化簡得
，
由它與
無關，只需
，解得
，或
，
而這兩點恰好在橢圓
上，從而假設成立，
即在橢圓
上存在點
或
滿足題意.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在棱長為1的正方體
中，點
， 
分別是側面
與底面
的中心，則下列命題中錯誤的個數為（ ）
①
平面
； ②異面直線
與
所成角為
；
③
與平面
垂直； ④
．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】對于①，∵DF
，DF
平面
， 
平面
，∴
平面
，正確；
對于②，∵DF
，∴異面直線
與
所成角即異面直線
與
所成角，△
為等邊三角形，故異面直線
與
所成角為
，正確；
對于③，∵
⊥
， 
⊥CD，且
CD=D，∴
⊥平面
，即
⊥平面
正確；
對于④，
，正確，
故選：A
【題型】單選題
【結束】
8
【題目】已知函數
在區間
上單調遞增，則實數
的取值范圍是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知圓C與y軸相切于點T(0,2)，與x軸的正半軸交于兩點
(點
在點
的左側)，且
.
(1)求圓C的方程；(2)過點
任作一直線與圓O： 
相交于
兩點，連接
，求證： 
定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】函數f（x）的定義域為[﹣1，1]，圖象如圖1所示；函數g（x）的定義域為[﹣2，2]，圖象如圖2所示，設函數f（g（x））有m個零點，函數g（f（x））有n個零點，則m+n等于（ ）
A. 6 B. 10 C. 8 D. 1
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了解某地區某種農產品的年產量
（單位：噸）對價格
（單位：千元/噸）和利潤
的影響，對近五年該農產品的年產量和價格統計如下表：
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 7.0 | 6.5 | 5.5 | 3.8 | 2.2 |
已知
和
具有線性相關關系.
（Ⅰ）求
關于
的線性回歸方程
；
（Ⅱ）若每噸該農產品的成本為2千元，假設該農產品可全部賣出，預測當年產量為多少噸時，年利潤
取到最大值？（保留一位小數）
參考數據及公式： 
， 
，
， 
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】北京大學從參加逐夢計劃自主招生考試的學生中隨機抽取60名學生，將其數學成績（均為整數）分成六組
， 
，…， 
后得到如下部分頻率分布直方圖，觀察圖形的信息，回答下列問題：
（1）求分數在
內的頻率；
（2）估計本次考試成績的中位數（結果四舍五入，保留整數）；
（3）用分層抽樣的方法在分數段為
的學生中抽取一個容量為6的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2人，求至多有
人在分數段
內的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在幾何體中，四邊形
為菱形，對角線
與
的交點為
，四邊形
為梯形， 
.
（Ⅰ）若
，求證： 
平面
；
（Ⅱ）求證：平面
平面
；
（Ⅲ）若
， 
， 
，求
與平面
所成角.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系中， 
的兩個頂點
的坐標分別為
，三個內角
滿足
.
（1）若頂點
的軌跡為
，求曲線
的方程；
（2）若點
為曲線
上的一點，過點
作曲線
的切線交圓
于不同的兩點
（其中
在
的右側），求四邊形
面積的最大值.
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