Question

【題目】已知函數f（x）=excosx﹣x．（13分）
（1）求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）求函數f（x）在區間[0， ]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：函數f（x）=excosx﹣x的導數為f′（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1，

可得曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線斜率為k=e0（cos0﹣sin0）﹣1=0，

切點為（0，e0cos0﹣0），即為（0，1），

曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=1；

（2）

解：函數f（x）=excosx﹣x的導數為f′（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1，

令g（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1，

則g（x）的導數為g′（x）=ex（cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx）=﹣2exsinx，

當x∈[0， ]，可得g′（x）=﹣2exsinx≤0，

即有g（x）在[0， ]遞減，可得g（x）≤g（0）=0，

則f（x）在[0， ]遞減，

即有函數f（x）在區間[0， ]上的最大值為f（0）=e0cos0﹣0=1；

最小值為f（ ）=e cos ﹣ =﹣ ．

【解析】（1.）求出f（x）的導數，可得切線的斜率和切點，由點斜式方程即可得到所求方程；
（2.）求出f（x）的導數，再令g（x）=f′（x），求出g（x）的導數，可得g（x）在區間[0， ]的單調性，即可得到f（x）的單調性，進而得到f（x）的最值．