Question

【題目】如圖所示的多面體中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面.

(1)設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為O，求證:平面；

(2)求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；(2) ．

【解析】

（1）根據(jù)題意，推導(dǎo)出面，，，結(jié)合線面垂直的判定定理證得面；

（2）以為原點(diǎn)，，，方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用面的法向量所成角的余弦值求得二面角的余弦值，之后應(yīng)用平方關(guān)系求得正弦值，得到結(jié)果.

(1) 證明：由題意可知：面，

從而，，又為中點(diǎn)，

，在中，，

，又，

面．

（2）面，且，

如圖以為原點(diǎn)，，，方向建立空間直角坐標(biāo)系，

從而，0，，，0，，，2，，，2，，，1，

由（1）可知，1，是面的一個(gè)法向量，

設(shè)，，為面的一個(gè)法向量，

由，令得，，，

設(shè)為二面角的平面角，

則，．

二面角的正弦值為．