Question

【題目】已知函數(shù)，

（1）已知為自然對數(shù)的底數(shù)，求函數(shù)在處的切線方程；

（2）當時，方程有唯一實數(shù)根，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）求得函數(shù)的導數(shù)，得到，，利用直線的點斜式方程，即可求解切線的方程；

（2）當時，方程，即，令，求得，令，分類討論利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解．

（1）由題意，函數(shù)，定義域，

則，所以，

函數(shù)在處的切線方程為，整理得，

即函數(shù)在處的切線方程．

（2）當時，方程，即，

令，有，，

令，

因為，所以在單調(diào)遞減，

①當即時， ，即在單調(diào)遞減，所以，方程無實根．

②當時，即 時，存在，使得時，，即單調(diào)遞增； 時，，即單調(diào)遞減； 因此，

取，則，

令，，

由，則，，所以，即在時單調(diào)遞減，

所以．

故存在，．

綜上，的取值范圍為.