Question

【題目】已知函數，．

（Ⅰ）若函數與的圖像在點處有相同的切線，求的值；

（Ⅱ）當時，恒成立，求整數的最大值；

（Ⅲ）證明： ．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見解析.

【解析】試題分析：(Ⅰ)求出與，由且解方程組可求的值；（Ⅱ）恒成立等價于恒成立，先證明當時恒成立，再證明時不恒成立，進而可得結果；（Ⅲ））由，令，

即，即，令 ，各式相加即可得結果.

試題解析：(Ⅰ)由題意可知，和在處有相同的切線，

即在處且，

解得.

（Ⅱ）現證明，設，

令，即，

因此，即恒成立，

即，

同理可證.

由題意，當時，且，

即，

即時，成立.

當時，，即不恒成立.

因此整數的最大值為2.

（Ⅲ）由，令，

即，即

由此可知，當時，，

當時，，

當時，，

……

當時，.

綜上：

.

即.