Question

【題目】已知奇函數（實數、為常數），且滿足．

（1）求函數的解析式；

（2）試判斷函數在區間上的單調性，并用函數單調性定義證明；

（3）當時，函數恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）函數在區間上單調遞減．證明見解析；（3）．

【解析】

（1）利用奇函數的定義，結合列方程組，解方程組求得的解析式.

（2）函數在區間上單調遞減，利用單調性的定義計算得，來證明結論成立.

（3）根據（2）的結論求得的最小值，結合函數恒成立列不等式，解不等式求得的取值范圍.

（1）由于函數為奇函數，故，由于，所以，解得，所以.

（2）函數在區間上單調遞減.任取，，由于，所以，，所以，所以函數在區間上單調遞減.

（3）由（2）值在區間上單調遞減，當時，取得最小值為，由于函數恒成立，所以，解得.所以實數的取值范圍為.