Question

（2012•朝陽區一模）已知△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．一個圓心為M，半徑為

1

4

的圓在△ABC內，沿著△ABC的邊滾動一周回到原位．在滾動過程中，圓M至少與△ABC的一邊相切，則點M到△ABC頂點的最短距離是

2

4

，點M的運動軌跡的周長是

9

．

Answer 1

分析：由題意，當圓與AC，BC都相切時，M到C的距離最小；設點M的運動軌跡的周長為C，則點M的運動軌跡是一直角三角形，且與△ABC相似，由此可得結論．

解答：解：由題意，當圓與AC，BC都相切時，M到C的距離最小，因為圓的半徑為

1

4

，∠C=90°，所以MC=

2

4

設點M的運動軌跡的周長為C，則點M的運動軌跡是一直角三角形，且與△ABC相似，如圖，
sin∠B=sin∠B₁DE=

1 4

B1D

=

3

5

∴B₁D=

5

12

，∴B₁C₁=

11

3

-

1

4

-

5

12

=3
∴

C

12

=

3

4

，∴C=9
故答案為：

2

4

，9．

點評：本題考查軌跡問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．