Question

（2012•朝陽區一模）函數f（x）是定義在R上的偶函數，且對任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．當0≤x≤1時，f（x）=x²．若直線y=x+a與函數y=f（x）的圖象有兩個不同的公共點，則實數a的值為（　　）

• A．n（n∈Z）
• B．2n（n∈Z）
• C．2n或2n-

  1

  4

  （n∈Z）
• D．n或n-

  1

  4

  （n∈Z）

Answer 1

分析：首先求出直線y=x+a與函數y=f（x）在區間[0，2）上的圖象有兩個不同的公共點時的a的值為0或-

1

4

，又因為對任意的x∈R，
都有f（x+2）=f（x），所以要求的實數a的值為2n或2n-

1

4

．

解答：解：因為函數f（x）是定義在R上的偶函數，設x∈[-1，0]，則-x∈[0，1]，于是f（x）=（-x）²=x²．
設x∈[1，2]，則（x-2）∈[-1，0]．于是，f（x）=f（x-2）=（x-2）²．
①當a=0時，聯立

y=x y=x2

，解之得

x=0 y=0

或

x=1 y=1

，即當a=0時，即直線y=x+a與函數y=f（x）的圖象有兩個不同的公共點．
②當-2＜a＜0時，只有當直線y=x+a與函數f（x）=x²在區間[0，1）上相切，且與函數f（x）=（x-2）² 在x∈[1，2）上僅有一個交點時才滿足條件．由f^′（x）=2x=1，解得x=

1

2

，
∴y=(

1

2

)2=

1

4

，故其切點為(

1

2

，

1

4

)，
∴a=

1

4

-

1

2

=-

1

4

；
由

y=x- 1 4 y=(x-2)2

（1≤x＜2）解之得

x= 5-2 2 2 y= 9-4 2 4

．
綜上①②可知：直線y=x+a與函數y=f（x）在區間[0，2）上的圖象有兩個不同的公共點時的a的值為0或-

1

4

．
又函數f（x）是定義在R上的偶函數，且對任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x），實數a的值為2n或2n-

1

4

，（n∈Z）．
故應選C．

點評：此題考查了函數的奇偶性、周期性及導數的應用，用到了數形結合的思想方法．