Question

（2012•朝陽區一模）某次有1000人參加的數學摸底考試，其成績的頻率分布直方圖如圖所示，規定85分及其以上為優秀．
（Ⅰ）下表是這次考試成績的頻數分布表，求正整數a，b的值；

區間	[75，80）	[80，85）	[85，90）	[90，95）	[95，100]
人數	50	a	350	300	b

（Ⅱ）現在要用分層抽樣的方法從這1000人中抽取40人的成績進行分析，求其中成績為優秀的學生人數；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中抽取的40名學生中，要隨機選取2名學生參加座談會，記“其中成績為優秀的人數”為X，求X的分布列與數學期望．

Answer 1

分析：（I）根據頻數=頻率×樣本容量，頻率=

頻率

組距

×組距，可求出a與b的值；
（Ⅱ）設其中成績為優秀的學生人數為x，根據40人中優秀的比例等于1000人中優秀的比例，建立等式，解之即可；
（Ⅲ）X的取值為0，1，2，然后利用排列組合的知識求出相應的概率，最后利用數學期望公式解之即可．

解答：（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）依題意，a=0.04×5×1000=200，b=0.02×5×1000=100．…（4分）
（Ⅱ）設其中成績為優秀的學生人數為x，則

x

40

=

350+300+100

1000

，解得：x=30，
即其中成績為優秀的學生人數為30名．…（7分）
（Ⅲ）依題意，X的取值為0，1，2，P(X=0)=

C 2 10

C 2 40

=

3

52

，P(X=1)=

C 1 10 C 1 30

C 2 40

=

5

13

，P(X=2)=

C 2 30

C 2 40

=

29

52

，
所以X的分布列為

X	0	1	2
P	3 52	5 13	29 52

EX=0×

3

52

+1×

5

13

+2×

29

52

=

3

2

，所以X的數學期望為

3

2

．…（13分）

點評：本題主要考查了頻率分布直方圖，以及離散型隨機變量的數學期望，同時考查了計算能力，屬于基礎題．