Question

(本題滿分13分)已知y= F(x)的導函數為f(x)=ax³+bx²+cx+d(a≠0),
函數y=f(x)的圖象如右圖所示，且函數y=F(x)的圖象經過（1，2）和（－1，2）兩點，又過點（1，0）作斜率之積為－10的兩條直線l₁和l₂，l₁和l₂與函數的圖象分別相交于A、B兩點和C、D兩點，O為坐標原點。
（1）求函數y=f(x)的對稱中心的坐標；
（2）若線段AB和CD的中點分別為M，N，求三角OMN面積的取值范圍。

Answer 1

（1）（1，1）    （2）≥

（1）由圖像可設y=f(x)=ax(x-1)(x-2)+1
=ax³-3ax²+2ax+1
∵(xⁿ)′=nx^n-1(n∈Z),∴F(x)為四次函數，可設F(x)=,      2分
又F（1）＝2，F（－1）＝2，    ∴           
∴f(x)=x³-3x²+2x+1=(x-1)³-x+2
設函數f(x)的圖象關于點（m,n）對稱，則對任意的x都有f(x)+f(2m-x)=2n,
∴（x-1）3+(2m-x-1)3-2m+4=2n
令x=1與x=m有　　　　6(m-1)³="0   "    m=1
∴n=f(m)=f(1)="1 " ∴對稱中心的坐標為（1，1）.                        6分
另解：f′(x)=3x²-5x+2，設x₁,x₂為f′(x)=0的兩根，
可知對稱中心的橫坐標 ∴,
∴縱坐標為f(1)="1       " ∴對稱中心為（1，1）                6分
（2）由（1）可知,
分別設A（x_1，y₁）,B(x_2，y₂)，C(x_3，y₃)，D(x₄,y₄)，M(x₅,y₅)，N(x₆,y₆).
由題可設l₁的方程為y=k(x-1)，代入y=x²得x²=kx+l=0,
∴＞0　　k＞4或k＜0　　　　　①
l₂的方程為，同理有kx²+10x-10="0        " 8分
＞                                 ②
由①，②有＜k＜0或k＞4   由上可知，
同理　　，   ∵＜0,∴M,N兩點在y軸的兩側.
若M點在y軸左側（如下圖所示），則S_ΔOMN＝S_梯形MPQN－S_ΔOQN－S_ΔOMP
＝＝，
同理當M點在y軸的右側時，
∴，     11分
令,由雙勾函數的性質可知，在＜k＜0或k＞4時，
t＜或t≥  ∴|t|≥    ∴≥       13分