Question

已知函數f(x)=x³-2ax²+3x(x∈R)．
（1）若a=1,點P為曲線y=f(x)上的一個動點，求以點P為切點的切線斜率取最小值時的切線方程
（2）若函數y=f(x)在（0，+∞）上為單調增函數，試求滿足條件的最大整數a．

Answer 1

⑴3x-3y+2=0，⑵1

（1）設切線的斜率為k，則k==2x²-4x+3=2(x-1)²+1, …………2分
當x=1時，k_min=1．又f(1)=，所以所求切線的方程為y-=x-1,
即3x-3y+2=0．         ……………………6分
（2）=2x²-4ax+3,要使y=f(x)為單調遞增函數，必須滿足>0，即對任意的x∈（0，+∞）,恒有>0，=2x²-4ax+3>0, ……………………8分
∴a<=+,而+≥，當且僅當x=時，等號成立．
所以a<，……………11分
所求滿足條件的a值為1         ……………12分