Question

已知圓C₁的方程為(x+1)²+y²=16，圓C₂的方程為(x-1)²+y²=4，動圓P經過圓C₂的圓心且與圓C₁相內切．

(Ⅰ)求動圓P的圓心的軌跡C的方程；

(Ⅱ)設M 、N是(Ⅰ)中的軌跡C上的兩點，若，其中O是坐標原點，求直線MN的方程.

Answer 1

解:(Ⅰ)根據已知，動圓⊙P的半徑小于⊙C₁的半徑，

∴|PC₁|+|PC₂|=4＞|C₁C₂|,

由橢圓的定義知，點P的軌跡C是以C₁(-1,0)、C₂(1,0)為焦點，長軸長為4的橢圓. 

∴P的軌跡C的方程為

(Ⅱ)設M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),

∵M、N是C上兩點，

∴            ①

               ②

又，

∴x₁+2x₂=-3                   ③,   

y₁+2y₂=0.                      ④ 

由①②③④，得,

∴直線MN的斜率 

當時，,直線MN的方程為

當時，,直線MN的方程為

∴直線MN的方程為