Question

已知圓C₁的方程為（x-4）²+（y-1）²=

32

5

，橢圓C₂的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，其離心率為

3

2

，如果C₁與C₂相交于A、B兩點，且線段AB恰為圓C₁的直徑．
（Ⅰ）求直線AB的方程和橢圓C₂的方程；
（Ⅱ）如果橢圓C₂的左右焦點分別是F₁、F₂，橢圓上是否存在點P，使得

PF1

+

PF2

=λ

AB

，如果存在，請求點P的坐標，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先分析得出若直線AB斜率存在，所以可設AB直線方程為y-1=k（x-4），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用中點坐標公式即可求得b值，從而求出所求橢圓方程；
（Ⅱ）先依據F₁，F₂的中點是原點O，得出

PO

與

AB

共線，再根據直線AB的方程寫出直線PO所在的直線方程，最后與橢圓的方程聯立方程組即可解得P點坐標．

解答：解：（Ⅰ）若直線AB斜率不存在，則直線AB的方程為x=4，由橢圓的對稱性可知，A，B兩點關于x軸對稱，A，B的中點為（4，0），又線段AB恰為圓C₁的直徑，則圓心為（4，0），這與已知圓心為（4，1）矛盾，
因此直線AB斜率存在，（1分）
所以可設AB直線方程為y-1=k（x-4），且設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∵e=

c

a

=

3

2

，∴c2=

3a2

4

，b2=

a2

4

設橢圓方程

x2

4b2

+

y2

b2

=1，（2分）
將AB直線方程為y-1=k（x-4）代入到橢圓方程得

x2

4b2

+

[kx-(4k-1)]2

b2

=1，
即（1+4k²）x²-8k（4k-1）x+4（4k-1）²-4b²=0（1），（4分）
x1+x2=

8k(4k-1)

1+4k2

=8，
解得k=-1，
故直線AB的方程為y=-x+5，（6分）
將k=-1代入方程（1）得5x²-40x+100-4b²=0．x₁+x₂=8，x1x2=

100-4b2

5

，△＞0，得b²＞5．（7分）
|AB|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=2

32 5

，得

2

•

16b2-80 5

=2

32 5

，解得b²=9．
故所求橢圓方程為

x2

36

+

y2

9

=1．（8分）
（Ⅱ）因為F₁，F₂的中點是原點O，
所以

PF1

+

PF2

=2

PO

=λ

AB

，所以

PO

與

AB

共線，（10分），
而直線AB的方程為y=-x+5，
所以直線PO所在的直線方程為y=-x．
∴

y=-x x2 36 + y2 9 =1

，

x= 6 5 5 y=- 6 5 5

或

x=- 6 5 5 y= 6 5 5

．
所以P點坐標為(

6 5

5

，-

6 5

5

)，(-

6 5

5

，

6 5

5

)．（12分）

點評：本小題主要考查圓與圓錐曲線的綜合、直線的一般式方程、橢圓的標準方程等基礎知識，考查運算求解能力、轉化思想．屬于基礎題．