Question

（2012•商丘二模）已知圓C₁的方程為x²+（y-2）²=1，定直線l的方程為y=-1．動圓C與圓C₁外切，且與直線l相切．
（Ⅰ）求動圓圓心C的軌跡M的方程；
（Ⅱ）斜率為k的直線m與軌跡M相切于第一象限的點P，過點P作直線m的垂線恰好經過點A（0，6），并交軌跡M與另一點Q，記S為軌跡M與直線PQ圍成的封閉圖形的面積，求S的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設動圓圓心C的坐標為（x，y），依題意知點C到（0，2）點的距離與到直線y=-2的距離相等，由拋物線的定義知，能求出動點的C的軌跡方程．
（Ⅱ）設點P的坐標為(x0，

x02

8

)，則以P點為切點的斜率為

x0

4

，直線PQ的斜率為-

4

x0

，所以直線PQ的方程為y-

x02

8

=-

4

x0

(x-x0)，由此能求出軌跡M與直線PQ圍成的封閉圖形的面積．

解答：解：（Ⅰ）設動圓圓心C的坐標為（x，y），
依題意知點C到（0，2）點的距離與到直線y=-2的距離相等，
由拋物線的定義知，動點的C的軌跡方程為x²=8y．
（Ⅱ）設點P的坐標為(x0，

x02

8

)，
則以P點為切點的斜率為

x0

4

，
∴直線PQ的斜率為-

4

x0

，
所以直線PQ的方程為y-

x02

8

=-

4

x0

(x-x0)，
由于該直線經過點A（0，6），所以有6-

x02

8

=4，得x02=16．
∵點P在第一象限，所以x₀=4，點P坐標為（4，2），
直線PQ的方程為x+y-6=0，
聯立

x+y-6=0 x2=8y

．解得x=-12或4，
∴點Q坐標為（-12，18），
∴S=

∫

6 -12

(-x+6-

x2

8

)dx
=（-

x2

2

+6x-

x3

24

）|

4 -12

=（-8+24-

8

3

）-（-72-72+72）
=

256

3

．

點評：本題考查軌跡方程的求法和定積分的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．