Question

如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°.點E、F分別在邊CD、CB上，點E與點C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝O.沿EF將△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED.

(1)求證：BD⊥平面POA；
(2)記三棱錐P－ABD的體積為V₁，四棱錐P－BDEF的體積為V₂，求當PB取得最小值時V₁∶V₂的值．

Answer 1

（1）見解析（2）4∶3

(1)證明：在菱形ABCD中，∵BD⊥AC，∴BD⊥AO.
∵EF⊥AC，∴PO⊥EF，
∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED＝EF，且PO?平面PEF，∴PO⊥平面ABFED，
∵BD?平面ABFED，∴PO⊥BD.
∵AO∩PO＝O，所以BD⊥平面POA.
(2)連接OB，設AO∩BD＝H.由(1)知，AC⊥BD.
∵∠DAB＝60°，BC＝4，∴BH＝2，CH＝2.
設OH＝x(0＜x＜2)．
由(1)知，PO⊥平面ABFED，∴PO⊥OB，即△POB為直角三角形．
∴PB²＝OB²＋PO²＝(BH²＋OH²)＋PO²，
∴PB²＝4＋x²＋(2－x)²＝2x²－4 x＋16＝2(x－)²＋10.
當x＝時，PB取得最小值，此時O為CH的中點．
∴S_△CEF＝ S_△BCD，
∴S_梯形BFED＝S_△BCD＝S_△ABD，
∴V₁＝ S_△ABD·PO，V₂＝ S_梯形BFED·PO.
∴＝.
∴當PB取得最小值時，V₁∶V₂的值為4∶3.