【題目】底面
為菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如圖所示的幾何體.若
，
.
（1）求證：
；
（2）求二面角
的正弦值.
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
（1）先由線面垂直的判定定理證明
平面
，再證明線線垂直即可；
（2）建立空間直角坐標系，求平面
的一個法向量與平面
的一個法向量，再利用向量數量積運算即可.
（1）證明：連接
，由
平行且相等，可知四邊形
為平行四邊形，所以
.
由題意易知
，
，所以
，
，
因為
，所以平面，
又
平面，所以
.
（2）設
，
，由已知可得：平面
平面
，
所以
，同理可得：
，所以四邊形
為平行四邊形，
所以
為
的中點，
為的中點，所以
平行且相等，從而
平面
，
又
，所以
，
，
兩兩垂直，如圖，建立空間直角坐標系
，
，
，由平面幾何知識，得
.
則
，
，
，
，
所以
，
，
.
設平面的法向量為
，由
，可得
，
令
，則
，
，所以
.同理，平面的一個法向量為
.
設平面與平面所成角為
，
則
，所以.
第1卷單元月考期中期末系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
的焦點到準線的距離為
，直線
與拋物線
交于
，
兩點，過這兩點分別作拋物線的切線，且這兩條切線相交于點
．
（1）若點的坐標為
，求
的值；
（2）設線段
的中點為
，過
的直線
與線段
為直徑的圓相切，切點為
，且直線與拋物線交于
，
兩點，求
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知直四棱柱
的底面是直角梯形，
，
，
，
分別是棱
，
上的動點，且
，
，
．
（1）證明：無論點怎樣運動，四邊形
都為矩形；
（2）當
時，求幾何體
的體積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】很多關于整數規律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的數學家和數學愛好者，有些猜想已經被數學家證明，如“費馬大定理”，但大多猜想還未被證明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的內容是：對于每一個正整數，如果它是奇數，則將它乘以
再加1；如果它是偶數，則將它除以
；如此循環，最終都能夠得到
.下圖為研究“角谷猜想”的一個程序框圖.若輸入
的值為
，則輸出i的值為（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】雙曲線
的左右焦點分別為
，
，
為坐標原點.
為曲線
右支上的點，點
在
外角平分線上，且
.若
恰為頂角為
的等腰三角形，則該雙曲線的離心率為（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的短軸長為4，離心率為
，斜率不為0的直線
與橢圓相交于
，
兩點（，異于橢圓的頂點），且以
為直徑的圓過橢圓的右頂點
.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）直線是否過定點，如果過定點，求出該定點的坐標；如果不過定點，請說明理由.
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