Question

已知F₁，F₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩個焦點，O為坐標原點，點P(-1，

2

2

)在橢圓上，線段PF₂與y軸的交點M滿足

PM

+

F2M

=

0

，⊙O是以F₁F₂為直徑的圓，一直線L：y=kx+m與⊙O相切，并與橢圓交于不同的兩點A，B
（1）求橢圓的標準方程．
（2）當

OA

•

OB

=λ，且滿足

2

3

≤λ≤

3

4

時，求△AOB的面積S的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由

PM

+

F2M

=

0

，知OM是△PF₁F₂的中位線，由OM⊥F₁F₂，知PF₁⊥F₁F₂，由此能求出橢圓的標準方程．
（2）由圓O與直線l相切，知

|m|

k2+1

=1，聯立

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，由直線l與橢圓交于兩個不同點，得到k²＞0，由此能推導出△AOB的面積S的取值范圍．

解答：解：（1）∵

PM

+

F2M

=

0

，
∴點M是線段PF₂的中點，
∴OM是△PF₁F₂的中位線，
又∵OM⊥F₁F₂，∴PF₁⊥F₁F₂，
∴

c=1 1 a2 + 1 2b2 =1 a2=b2+c2

，解得a²=2，b²=1，c²=1，
∴橢圓的標準方程為

x2

2

+y2=1．
（2）∵圓O與直線l相切，∴

|m|

k2+1

=1，即m²=k²+1，
聯立

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，消去y，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
∵直線l與橢圓交于兩個不同點，∴△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-2）＞0，
∴k²＞0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=-

4km

1+2k2

，x₁•x₂=

2m2-2

1+2k2

，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=

1-k2

1+2k2

，

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

1+k2

1+2k2

=λ，
∴

2

3

≤

1+k2

1+2k2

≤

3

4

，
∴

1

2

≤k2≤1，
S=S_△ABO=

1

2

•|AB|•1
=

1

2

•

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1

2

•

1+k2

•

(- 4km 1+2k2 )2-4• 2m2-2 1+2k2

=

2(k4+k2) 4(k4+k2)+1

，
 設u=k⁴+k²，則

3

4

≤u≤2，S=

2u 4u+1

，u∈[

3

4

，2]，
∵S關于u在[

3

4

，2]單調遞增，S（

3

4

）=

6

4

，S（2）=

2

3

，
∴

6

4

≤S≤

2

3

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．