Question

（幾何證明選講選做題）如圖，P是⊙O外一點，PD為⊙O的切線，D為切點，割線PEF經過圓心O，若PF=12，PD=4

3

，則∠EFD=

30°

，線段FD的長為

4

3

．

Answer 1

分析：連接OD，首先根據切割線定理計算出PE的長，再進一步計算出OP的長和圓的半徑的長；從而在直角三角形OPD中，根據邊之間的關系求得角的度數，再根據圓周角定理進行計算要求的角．

解答：解：連接DO，
∵PD為切線，PEF為割線，
∴由切割線定理得到PD²=PE•PF；

∵PD=4

3

，PF=12，
∴PE=

PD2

PF

=4，
∴EF=PF-PE=8，EO=4；
∵PD為切線，D為切點，
∴OD⊥PD；
∵在Rt△PDO中，OD=4，PO=PE+EO=8，
∴∠DPO=30°，∠DOP=60°，
∵OD=OF，∠DOP為∠DOF的外角，
∴∠EFD=

1

2

∠DOP=30°．
在三角形DOF中FD=2

DO

cos30°

=4

3

故答案為：30°；4

3

點評：本題主要考查圓的切線的性質定理，考查與圓有關的比例線段，考查直角三角形中有關的三角函數的知識，本題解題的關鍵是熟練應用平面幾何中有關的定理定義和性質，本題屬于基礎題．