Question

【題目】已知圓M：x2+（y-2）2=1，Q是x軸上的動點，QA，QB分別切圓M于A，B兩點。

（1）若Q（1，0），求切線QA，QB的方程；

（2）求四邊形QAMB面積的最小值；

（3）若|AB|=，求直線MQ的方程。

Answer 1

【答案】（1）和；（2）；（3）或

【解析】試題分析：（1）討論直線的斜率是否存在，根據圓心到直線的距離等于半徑求出直線的斜率；
（2）根據面積公式可知MQ最小時，面積最小，從而得出結論；
（3）根據切線的性質列方程取出MQ的值，從而得出Q點坐標，進而求出直線MQ的方程．

試題解析：

（1）設過點Q的圓M的切線方程為x=my+1，

則圓心M到切線的距離為1，

所以，所以m=或0，

所以QA，QB的方程分別為3x+4y-3=0和x=1。

（2）因為MA⊥AQ，所以S四邊形MAQB=|MA|·|QA|=|QA|=。

所以四邊形QAMB面積的最小值為。

（3）設AB與MQ交于P，則MP⊥AB，MB⊥BQ，

所以|MP|=。

在Rt△MBQ中，|MB|2=|MP||MQ|，

即1=|MQ|，所以|MQ|=3，所以x2+（y-2）2=9。

設Q（x，0），則x2+22=9，所以x=±，所以Q（±，0），

所以MQ的方程為2x+y+2=0或2x-y-2=0。