Question

【題目】2020年4月8日，武漢市雷神山醫院為確診新型冠狀病毒肺炎患者，需要檢測核酸是否為陽性，現有份核酸樣本，有以下兩種檢測方式：（1）逐份檢測，則需要檢測次；（2）混合檢測，將其中(，且)份核酸樣本分別取樣混合在一起檢測，若檢測結果為陰性，這份核酸樣本全為陰性，因而這份核酸樣本只要檢測一次就夠了，如果檢測結果為陽性，為了明確這份核酸樣本究竟哪幾份為陽性，就要對這份樣本再逐份檢測，此時這份核酸樣本的檢測次數總共為次.假設在接受檢測的核酸樣本中，每份樣本的檢測結果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結果的概率為.

（1）假設有5份核酸樣本，其中只有2份樣本為陽性，若采用逐份檢測方式，求恰好經過4次檢測就能把陽性樣本全部檢測出來的概率.

（2）現取其中(，且)份核酸樣本，記采用逐份檢測方式，樣本需要檢測的總次數為，采用混合檢測方式，樣本需要檢測的總次數為.

①試運用概率統計的知識，若，試求關于的函數關系式；

②若，用混合檢測方式可以使得樣本需要檢測的總次數的期望值比逐份檢測的總次數期望值更少，求的最大值.

參考數據：

Answer 1

【答案】（1）；（2）①(，且)；②.

【解析】

（1）利用古典概率計算公式即可得出．

（2）①由已知得，的所有可能取值為1，．可得，，即可得出期望．根據，解得．

②由題意可知，得，，，可得，設，利用導數研究其單調性即可得出．

解：（1）由題意可知，

故恰好經過4次檢測就能把陽性樣本全部檢測出來的概率為.

（2）①由已知得的所有可能取值為1，，

.

.

若，則，

即，

故關于的函數關系式為(，且).

②由題意可知，得，

，設，

則，當時，，即在上單調遞減. .

的最大值為4.