Question

【題目】已知動圓P經過點，并且與圓相切.

（Ⅰ）求圓心P的軌跡C的方程；

（Ⅱ）O是坐標原點，過點的直線與C交于A，B兩點，在C上是否存在點Q，使得四邊形是平行四邊形？

Answer 1

【答案】(1) ；

(2) 直線為或時，橢圓C上存在點Q，否則不存在.

【解析】

(1) 由橢圓的定義可得，P的軌跡是以M，N為焦點的橢圓，進而求出方程.

(2) 假設存在，根據平行四邊形已知三個點坐標，表示Q的坐標，設直線方程，聯立直線和橢圓方程，利用韋達定理整理Q的坐標，根據Q在橢圓上，求得直線方程.

(1) 由題意可得N在圓M內部，所以兩圓內切，

所以，

由橢圓的定義可知，點的軌跡是以，為焦點的橢圓，

設橢圓方程為，

其中，，

所以，

所以點的軌跡的方程為.

(2) 假設C上存在點Q，使得四邊形是平行四邊形，

由題意可知，直線的斜率存在，設直線的方程為：

設直線與橢圓C的交點，

則

聯立可得，

由韋達定理可得，

所以，

點 Q在橢圓C上，所以，

解得

綜上可得，直線為或時，

橢圓C上存在點Q，使得四邊形是平行四邊形，否則不存在.